Medical Data에서 시간/공간 영역과 주파수 영역

 

시계열 데이터와 이미지 데이터

시계열 데이터(Time-series data)는 의학 영역에서 다양한 방면에서 사용된다. 뇌의 전기적 활동을 시간에 따라 나타내는 뇌전도(Electroencephalogram, EEG), 심장의 전기적 활동을 기록하는 심전도(ECG, Electrocardiogram) 등이 대표적인 의학 영역에서의 시계열 데이터이다.

ECG(출처: ECG library)

EEG(출처: 위키백과)

 

최근에는 연속혈당측정 (CGM, Continuous Glucose Monitoring)의 상용화로, 센서와 연동된 어플리케이션을 통해 혈당을 시간에 따라 실시간으로 기록할 수 있다.

https://pastahealth.com/

파스타 - 카카오헬스케어

 

반면, 이미지 데이터(image data)는 2차원 평면에 그려진 시각적 표현물을 말한다. 의학에서는 주로 X-Ray, CT, MRI 등의 데이터가 이미지 데이터이다.

출처: Harvard health

시간 영역과 주파수 영역

시간 영역(time domain)이란, 신호를 가로축을 시간으로 해석하는 것을 말한다. 시간이 연속적인 경우(연속 시간 영역), 신호는 연속적인 실수로 표현되며 시간이 이산적인 경우(이산 시간 영역) 신호는 일정 간격에 따라 표현된다.

 

공간 영역(spaial domain)이란, 신호의 크기를 위치의 좌표에 따라 해석하는 것을 말한다. Grayscale image의 경우 좌표 1개 당 신호가 1개씩 할당되고, RGB image의 경우 3개씩 할당된다.

 

주파수 영역(frequency domain)이란, 가로축을 주파수로 하여 주파수에 따른 신호의 분포로 해석하는 것을 말한다. 예를 들어, 아래의 오디오 장비에서 각 주파수의 음이 어느 세기로 들리는지의 분포를 나타낸 것이다.

Spectrum Analyzer (출처: SIR audio tools)

시간 영역과 주파수 영역의 관계

시간 영역의 함수 f(t) 를 푸리에 변환(Fourier Transformation)시키면 주파수 영역의 함수 F(u) 가 된다. 

 

또한, 주파수 영역의 함수를 역 푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)시키면 시간 영역의 함수 f(t)가 된다.

또한 오일러 방정식을 적용하면

 

이 되는데, 이는 모든 복소함수를 푸리에 변환하면 사인 함수와 코사인 함수의 형태로 나타낼 수 있음을 말한다. 예를 들어, 아래와 같은 시간 영역의 함수를 생각하자.

 

이는 -W/2부터 W/2까지 일정한 크기 A로 발생하는 신호이다. 이를 푸리에 변환하여 주파수 영역으로 바꾸어 보자.

 

주파수 영역의 함수 F(u)는 아래와 같이 표현된다. 즉, 원래 시간 영역에서 신호 함수가 가지는 주파수 성분들의 가중치를 나타낸 것이 아래 분포이다.

 

공간 영역과 주파수 영역의 관계

시간 영역에서는 데이터가 시간과 신호의 크기 간의 관계를 나타냈다면, 공간 영역에서는 데이터가 좌표과 신호의 크기 간의 관계를 나타낸다. 그렇기 때문에, 공간 영역에서도 시간 영역과 마찬가지로 푸리에 변환을 아래와 같이 진행할 수 있다. 단, 이 때는 공간 영역의 좌표 (t, z)에 대해여 2차원 푸리에 변환이 이루어진다.

또한, 2차원 푸리에 역변환은 아래와 같이 이루어진다.

그렇다면 공간 영역을 푸리에 변환한 F(u, v)는 무엇을 의미할까? 이는 공간적 주파수로 볼 수 있다. 공간 주파수란 공간 상에서 pixel 값의 변화율을 말한다.

출처: 정보통신기술용어해설

 

예를 들어, 아래와 같이 검은 배경에 회색 사각형이 그려져 있는 경우를 생각해 보자.

 

이는 좌표 (t, z)와 신호의 세기 f(t, z)의 관계를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

이 함수를 이차원 푸리에 변환 하면 아래와 같이 공간적 주파수 영역으로 변환할 수 있다.

 

주파수 영역의 함수 F(u, v)는 아래와 같이 분포한다.

 

 

출처: Digital Image Processing 4th ed. (Rafael C. Gonzalez et al.)